UN APORTE PARA LA REFLEXIÒN A PARTIR DE LA EVALUACIÒN CONCEPTUAL
Se agradece la colaboración de las maestras:
Maestras: Claudia Giménez
ÁREA DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO
CAMPO DISICIPLINAR: NUMERACIÓN
CONCEPTOS: Número – Sistema de numeración decimal – Valor posicional y relativo
PROPÓSITO: generar instancias de evaluación que favorezcan el conocimiento y la reflexión acerca de los diferentes niveles conceptuales en el campo de la numeración natural (sistema de numeración decimal)
INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN
1) Coloca delante del primer número un 2 y coloca delante del segundo número un 4.
2) Vuelve a trabajar con los dos números iniciales (531 y 326). Coloca el 2 al final del primero y el 4 al final del segundo.
3) Compara los números obtenidos en 1) y 2). ¿Encuentras diferencias? Explícalas.
- Se refieren a la cantidad de cifras del número.
- Reconocen que las cantidades mayores están a la izquierda de las menores.
-Identifican que en números de igual cantidad de cifras “el primero es el que manda”.
- Aluden a que el valor de las cifras depende del valor que ésta ocupe en el número.
-Descomponen en unidades, decenas, centenas y unidad de mil.
- Reconocen el valor de las cifras en orden decreciente
- Identifican intuitivamente que los cuatro números son diferentes
- Ubican la cifra que debían agregar en forma arbitraria.
-Reconocen la diferencia entre los números en forma arbitraria.
Niveles de conceptualización:
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Hacen alusión a que los números tienen igual cantidad de cifras. Reconocen que las cifras en nuestro sistema de numeración se escriben de izquierda a derecha en orden decreciente (las cantidades mayores están a la izquierda de la menores). Establecen hipótesis de jerarquía en la comparación entre números de igual cantidad de cifras al aludir que “el primero es el que manda”.
Establecen el orden en los números haciendo referencia a la posicionalidad en nuestro sistema de numeración (el valor de una cifra depende del lugar que está ocupe en el número). Aluden a la recursividad (los números se forman con la recurrencia de cifras ordenadas del 0 al 9 en los distintos órdenes). Realizan descomposición factorial como procedimiento para explicar.
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Se refieren a la cantidad de cifras. Reconocen la escritura de las cifras en orden decreciente de izquierda a derecha. Establecen hipótesis de jerarquía. Algunos aluden al orden.
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Reconocen que las cifras se escriben de izquierda a derecha en orden decreciente. Establecen hipótesis de jerarquía.
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Identifican intuitivamente que los números son diferentes sin argumentos o ubican las cifras dadas en forma arbitraria.
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Análisis interpretativo de los niveles de conceptualización
La primera puntualización relevante a realizar se encuentra relacionada con la importancia de la elección del sistema de numeración como un objeto de enseñanza de la formación matemática en la escuela. En este sentido, Flavia Terigi y Susana Wolman señalan que: “El SN es el primer sistema matemático convencional con que se enfrentan los niños en la escuela, y constituye el instrumento de mediación de otros aprendizajes matemáticos. En consecuencia, la calidad de los aprendizajes que los niños puedan lograr en relación con este objeto cultural es decisiva para su trayectoria escolar posterior” (1)
La interpretación de los diferentes niveles de conceptualización, vinculados a las distintas categorías, favorece la toma de decisiones didácticas, promoviendo a partir de ellas la construcción posterior de una propuesta de enseñanza que promueva la aproximación significativa al sistema de numeración decimal.
En el análisis interpretativo de la evaluación realizada, el primer dato relevante que surge es que la gran mayoría de los alumnos realizan la comparación entre números basados en el reconocimiento de la cantidad de cifras y en el establecimiento de hipótesis de jerarquía. Asimismo, un número menor, pero no por ello menos relevante, únicamente demuestran identificar la diferencia entre números de manera intuitiva, sin mediar argumentos que puedan justificar el procedimiento realizado.
En otras palabras, la mayoría de los alumnos evidencian conocer la designación de “los lugares de cada cifra” y comparan números, reconociendo que el número mayor es aquel que tiene más cifras y que en aquellos que tienen la misma cantidad, es mayor el que tiene la primera cifra más grande (“el primero es el que manda”). Sin embargo, no todos reconocen el valor posicional de cada uno de los órdenes, y un grupo menor puede argumentar este conocimiento realizando la descomposición factorial.
Esta situación puede encontrar una explicación en el planteo que realiza María Claudia Fernández (Sistema de numeración. Segundo ciclo): “cuando se les propone a los alumnos situaciones en las que se pretende definir distintos órdenes, presentación de un modelo demostrando el procedimiento adecuado y ejercitaciones para “ fijar” el concepto, los alumnos”(…) podían realizar mecánicamente y el éxito estaba asegurado con la memorización del orden de los lugares que podía ocupar una cifra en el número, pero no comprendían las operaciones que estaban involucradas en su escritura, sino que establecían una correspondencia con el nombre de la posición, (…) el conocimiento que se ponía en funcionamiento para resolver dichos ejercicios no era el valor de cada cifra de acuerdo con la posición que ocupaba el número (lo que implicaba comprender la multiplicación por la base decimal) sino el nombre de esa posición. Cuando el docente emitía un juicio sobre el aprendizaje del valor posicional en sus alumnos, en realidad sólo estaba valorando el conocimiento de un procedimiento que le permita identificar el nombre y el lugar de cada orden”
A la luz del marco teórico expuesto se plantea la posibilidad de que la experiencias de los alumnos en el este campo se hayan encontrado vinculadas a este tipo de actividad, en la que el eje de las mismas es la “explicación acerca de las unidades, decenas, centenas y unidades”; con lo cual no se promovió la comprensión de las regularidades del sistema de numeración decimal.
Desde el lugar de docente, se reconoce que no alcanza para la comprensión del valor posicional, con que los alumnos aprendan las posiciones de cada orden, pero también se asume la responsabilidad y se reconoce cierta dificultad en la elaboración e implementación de propuestas que apunten a trascender esta realidad.
Por otra parte, en algunas ocasiones los materiales y procedimientos que se utilizan tienden a “deformar el objeto de conocimiento, (…) e impiden que los niños utilicen los conocimientos que ya han construido en relación con el sistema de numeración” (Delia Lerner). Por este motivo, puede resultar de relevancia el realizar una revisación reflexiva acerca de qué materiales se emplean y con qué objetivo, para así superar estas situaciones.
Cabe señalar, que en ciertas instancias el fin primordial será propiciar la comprensión de las reglas del sistema de numeración posicional decimal, independientemente de los modelos físicos que se utilicen, más allá de lo que se considera como “problemas de la vida cotidiana”, es decir presentar propuestas en contextos intramatemáticos, que apunten a la reflexión de las regularidades que subyacen a él.
Asimismo, es importante tener presente que muchas veces los números se utilizan como códigos, careciendo de sentido cardinal, ordinal y algorítmico (reglas del sistema de numeración decimal), como por ejemplo; número de C.I, de teléfono, teclas de la calculadora, etc. Generando espacios para la reflexión con los alumnos, de tal manera que se pueda reconocer las diferencias de ambas situaciones (cuando lo uso de una y otra forma).
Por otra parte, un dato relevante a interpretar, es que un grupo de alumnos evidenció un nivel de conceptualización que les permitió realizar la propuesta empleando argumentos pertinentes, evidenciando comprensión de regularidades, de la recursividad del agrupamiento, así como de los principios que rigen el sistema y las operaciones subyacentes a la notación numérica.
Esto puede significar que los alumnos se vieron enfrentados a propuestas que propiciaron la construcción del conocimiento acerca de las razones que hacen al funcionamiento del sistema de numeración. Frente a ello surge la interrogante de por qué este nivel de conceptualización está representado por la cantidad menor de alumnos. Resulta difícil la interpretación, debido a la multicausalidad de la realidad educativa, pero si se puede plantear como supuestos explicativos, la incidencia de dos variables que se deberán considerar: la recurrencia en el trabajo con los contenidos referidos a este campo disciplinar y la diversificación de propuestas, de estrategias y recursos, que atiendan a la diversidad de las potencialidades y los distintos niveles de conceptualización de los alumnos.
Se tratará de propiciar propuestas que favorezcan la búsqueda personal de procedimientos frente a la resolución de situaciones que pongan en juego las herramientas del alumno. Para ello es importante generar espacios en los cuales los problemas que se les planteen les impliquen elaborar procedimientos, así como relacionar sus concepciones con las regularidades que vayan descubriendo en la organización de los números.
Esta elaboración se va realizando a partir de propuestas en las que se enfrente a la comparación de números (igual y distinta cantidad de cifras) y también al trabajo con una amplitud de sectores de la serie numérica, lo cual permite, como postulan Flavia Terigi y Susana Wolman: “introducirse en la búsqueda de las razones que hacen al funcionamiento de dichas regularidades. En efecto, sólo tiene valor preguntarse por las razones de las regularidades una vez que éstas han sido elaboradas por los alumnos. Las razones explican las regularidades porque dependen, precisamente, de las operaciones que
subyacen a la organización del SN, y su comprensión supone para el niño la construcción de una red de conocimientos a lo largo de un tiempo prolongado de aprendizaje”.
Por otra parte, es de fundamental importancia el plantear actividades que favorezcan la diferencia de dos entornos distintos de la numeración, el oral y el escrito. Esto resulta esencial, ya que se debe tener en cuenta que la serie numérica oral no es estable y no evidencia siempre la posicionalidad de la serie escrita. Asimismo en la escritura, a cada cambio de orden, hay un cambio de posición. Mientras que en la oralidad, los cambios de orden no se corresponden con cambios de nombres. Esto además promoverá la resignificación de los conceptos de cardinalidad y ordinalidad.
En otro orden, es fundamental destacar el rol que cumplirán las instancias de puesta en común, en las cuales se buscará la confrontación de las diferentes concepciones y “caminos”, que van surgiendo en los procesos de resolución de cada uno y que enriquecen al grupo en ese ámbito de intercambio. Como señala Beatriz Ressia de Moreno (La enseñanza del número y del sistema de numeración en el nivel inicial y el primer año de la E.G.B): “Comunicar una resolución permite hacer explícito lo implícito y hace posible el reconocimiento de ese conocimiento por parte del sujeto. Informar sobre lo producido implica necesariamente la reconstrucción de la acción realizada”.
Finalmente, es significativo destacar la necesidad de considerar en la planificación de la secuencia de numeración, el trabajo con contenidos en el campo disciplinar de diferentes grados, que permitirán no solo atender las diferentes potencialidades de los alumnos, sino enfrentar con una perspectiva globalizadora las dificultades que revelaron la evaluación. Asimismo, se buscará conectar ciertas propuestas de este campo con algunas relacionadas con el campo de las Operaciones, para que los alumnos puedan comprender el sentido de los conocimientos matemáticos, desde un nivel sintáctico, promoviendo la reflexión, por ejemplo, de cómo funciona un algoritmo (por qué “me llevo”), todo ello en pro de la significatividad de sus aprendizajes.
Composición y descomposición aditiva y factorial
Comparación de igualdades
Serie numérica
Divisibilidad:
- 2, 5, 4,8,100, 3, 6, 1000
- Números primos y compuestos
Otros sistemas de numeración posicional (sistema binario)
A.N.E.P, Programa de Educación Inicial y Primaria 2008
Cid, Eva; Godino, Juan; Batanero, Carmen (2003). Sistemas numéricos y su didáctica para maestros. Proyecto Edumat-Maestros.
Chamorro, María del Carmen (2003). Didáctica de las Matemáticas. Capítulo 4. Madrid. Pearson Educación.
Curti, María del Carmen; Damisa, Carla (2009). Conceptos matemáticos: Número natural. Montevideo. Editorial Aula.
Fernández, María Claudia. Sistema de numeración. Segundo ciclo.
Lerner, Delia (1999). Reflexiones sobre uso del material concreto en Matemáticas. Problemas de la vida cotidiana. En Revista Quehacer Educativo Nº34. Montevideo. FUM.TEP.
Ressia de Moreno, Beatriz (2003). La enseñanza del número y del sistema de numeración decimal en el nivel inicial y el 1er ciclo de la EGB. En Panizza, Mabel (comp). Enseñar matemáticas en el nivel inicial y el primer ciclo de la EGB. Buenos Aires. Editorial Paidós.
Terigi Flavia y Wolman Susana, "Sistema de numeración: consideraciones acerca de su enseñanza" revista iberoamericana de educación. N.º 43 (2007)
